Nous avons développé une solution analytique au premier ordre adaptée à la description des mouvements orbitaux circulaires. La projection des perturbations en coordonnées topocentriques permet d'obtenir une expression analytique littérale de la vitesse radiale (signal Doppler) en fonction des coefficients du géopotentiel. Aussi, nous donnons des cartes de sensibilité de ce signal à la méconnaissance du champ de gravité de la Terre, caractérisée par les différences JGM3-GRIM4.
En moyenne, le signal s'établit à 0.2 mm/s pour l'orbite de TOPEX/POSEIDON et 0.7 mm/s pour l'orbite de SPOT.

L'analyse des perturbations d'orbite de satellite est une part importante à la préparation et l'exploitation des missions d'observation de la Terre. L'analyse d'erreur, en particulier sur les composantes radiale et tangentielle du mouvement d'un satellite, est un prolongement de ce type d'étude. Ceci est particulièrement vrai dans le cas de l'altimétrie spatiale. La détermination d'erreur d'orbite peut alors devenir un problème à part entière, dont l'analyse s'effectue à partir de données d'observations, ou encore, de façon plus théorique, en remontant aux erreurs affectées aux coefficients du géopotentiel, voire, enfin, à partir des deux sources d'information (ex., Schrama 1992).
Nous avons choisi d'analyser les erreurs d'orbite de façon théorique. Ceci fait intervenir une théorie analytique de satellite et, de surcroît, une estimation des incertitudes sur la connaissance du champ de gravité de la Terre. L'objectif de ce travail est de se donner un outil d'analyse performant, capable de fournir, avec réalisme, la sensibilité de la position d'un satellite - voire de la variation de sa position par rapport à un observateur terrestre - à une erreur sur les coefficients du champ de gravité.

La représentation des perturbations d'orbite est essentiellement basée sur des théories analytiques en éléments orbitaux képlériens (Kaula, 1966). Cependant, la nature des missions spatiales impose souvent de connaître l'expression des perturbations en terme de coordonnées, comme c'est le cas en altimétrie. Récemment, l'intérêt de ce type de développement a été augmenté significativement par la nécessité d'établir un bilan d'erreur précis, au moins sur la composante radiale de l'orbite de TOPEX/POSEIDON (T/P). L'intérêt d'utiliser directement des coordonnées, variables typiquement non-singulières, est double dans le développement d'une théorie analytique de satellite, pour des applications en géodésie spatiale. Il s'agit d'une part d'éviter les singularités, car de nombreuses missions d'observation de la Terre sont lancées sur des mouvements circulaires ou presque. Il s'agit d'autre part d'obtenir directement des expressions analytiques littérales, en terme de coordonnées, pour une analyse plus performante et plus simple des perturbations sur la position du satellite. A titre d'exemple, les équations de Hill ont été utilisées pour obtenir les perturbations d'orbite radiales et normales dues au géopotentiel (Schrama 1989; Balmino et al. 1996). Cependant, nous avons montré récemment l'intérêt d'utiliser des coordonnées sphériques géocentriques dans le cadre du développement d'une nouvelle solution analytique du mouvement circulaire perturbé.
En effet, ces coordonnées sont certainement mieux adaptées que des coordonnées locales pour décrire les perturbations d'origine gravitationnelle (Exertier and Bonnefond 1996).

A partir des expressions analytiques littérales des perturbations en coordonnées fournies par une théorie analytique, il faut encore estimer correctement l'erreur d'orbite. Pour cela, la matrice de variance/covariance d'un modèle de champ de gravité représente une donnée de base (Balmino 1992). Elle reste cependant difficile à manipuler d'un point de vue numérique, et la propagation d'erreur radiale d'orbite associée y est déterminée de manière exclusive. Aussi, nous avons choisi de caractériser l'erreur sur les coefficients du champ de gravité en se basant sur les différences entre des modèles récents : GRIM4, JGM2 et JGM3. Ceci a l'avantage d'une formulation simple et utilisable dans le cadre d'une théorie linéaire des perturbations. En revanche, ne tenant pas compte des corrélations entre les coefficients des harmoniques, l'évaluation de l'erreur est très certainement pessimiste. La comparaison des résultats de la prédiction théorique de l'erreur d'orbite avec des évaluations récentes basées sur des données, permet de le vérifier.

Dans ce contexte, une application immédiate de la théorie analytique a consisté à décrire, dans le cas de TOPEX/POSEIDON, les différences d'orbite radiales (dr) liées à des différences (dC_l.m, dS_l.m) entre les modèles JGM-3 et GRIM4. Ces pseudo-erreurs, projetées le long des traces terrestres d'une éphéméride de 10 jours, donnent directement accès aux «erreurs géographiquement corrélées». La théorie montre que des écarts subsistent jusqu'au niveau de 2.5 cm rms pour la composante radiale. A titre de contrôle, une répartition géographique et des amplitudes tout à fait équivalentes ont été trouvées numériquement à partir des données GPS (Haines et al., 1995). Ceci confirme l'intérêt et la performance de la méthode analytique, qui est d'application immédiate.

Nous voulons présenter aujourd'hui une extension de ces premiers travaux. En effet, à partir des expressions analytiques littérales des perturbations en coordonnées géocentriques, il est possible d'obtenir une projection de ces perturbations dans un repère topocentrique quelconque. L'objectif de cette extension est d'obtenir, toujours sous des approximations d'ordre un, une relation analytique directe entre la variation de position (vitesse radiale) du satellite par rapport à une station et les perturbations, elles-mêmes reliées aux coefficients du champ de gravité. Il est ainsi possible de décrire directement l'erreur sur la vitesse radiale, qui est reliée au signal Doppler, à partir des incertitudes actuelles (dC_l.m, dS_l.m) sur la connaissance du champ de gravité de la Terre. L'orbite du satellite n'est plus qu'un intermédiaire de calcul, permettant d'exprimer l'intégration des phénomènes à l'altitude voulue.
Les effets étant ensuite décrits sous une forme très différente de l'erreur d'orbite conventionnelle.

La Figure 1 montre, avec le réseau de stations DORIS et pour l'orbite de TOPEX/POSEIDON, les erreurs prédites, en terme de vitesse radiale - pour un signal Doppler DORIS par exemple -, dues à une différence de coefficients des modèles JGM-3 et GRIM4-S4. Le signal est calculé par station, le long des traces du satellite pendant une période de 10 jours, c'est-à-dire pour l'ensemble des passages observables au-dessus de 25 degrés d'élévation. La présence des cercles de visibilité rappelle donc les zones où le signal est réellement calculé. Les structures sont cohérentes à large échelle et leur amplitude est de 0.2 mm/s rms, avec des écarts à ± 0.8 mm/s. Une seconde application (Figure 2), pour l'orbite de SPOT, montre un signal plus important, à 0.7 mm/s avec des écarts à ± 3.5 mm/s.

Conclusion

Nous avons développé une solution analytique du mouvement circulaire perturbé à l'ordre un. Dans le cadre des projets spatiaux de la géodésie, l'application majeure d'une telle solution, exprimée en coordonnées, réside dans l'analyse des perturbations d'orbite ainsi que dans une analyse des erreurs associées.

A partir des expressions littérales des perturbations et des différences de coefficients entre des modèles de champ de gravité récents, nous donnons une prédiction de l'erreur radiale d'orbite de TOPEX/POSEIDON au niveau de 2.5 cm rms.

Une extension de la solution analytique permet de projeter les expressions des perturbations dans un repère topocentrique. Ceci permet de décrire la signature des différences des modèles de champ en terme de «résidus» de vitesse radiale.

Ce résultat tente de montrer qu'un signal Doppler comme DORIS , dont l'erreur de mesure se situe au niveau de 0.3 mm/s actuellement, ne peut plus apporter d'information supplémentaire, en moyenne et à l'altitude de T/P, sur le champ de gravité de la Terre dans sa forme actuelle (modèle GRIM4, par exemple). Autrement dit, il est nécessaire de passer à une instrumentation à ± 0.1 mm/s dans les missions similaires à venir (type Jason), si celles-ci doivent aussi contribuer à améliorer le champ de gravité par la donnée des mesures de poursuite. Pour T/P, la méconnaissance du champ de pesanteur n'est plus, aujourd'hui, l'erreur d'orbite dominante. L'origine des rms actuels, de 0.55 mm/s, dans les calculs d'orbite doit être cherchée ailleurs (erreur de propagation, forces non-gravitationnelles, position des stations,...). La situation est bien sûr très différente à 800 km d'altitude pour une orbite de type SPOT.

Bibliographie

• Balmino, G. (1992): Orbit Choice and the Theory of Radial Orbit Error for Altimetry, International Summer School of Theoretical Geodesy, ''Satellite Altimetry in Geodesy and Oceanography'', Lecture Notes, Trieste, Italy, May 25-June 6
• Balmino, G., E. Schrama and N. Sneeuw (1996): Compatibility of first-order circular orbit perturbations theories; consequences for cross-track inclination functions, Journal of Geodesy, 70:554--561.
• Exertier, P. and P. Bonnefond (1996): Analytical Solution of Perturbed Circular Motion: Application to Satellite Geodesy, à paraître dans Journal of Geodesy.
• Haines, B.J., E.J. Christensen, J.R. Guinn, R.A. Norman and A. Marshall (1995): Observations of TOPEX/POSEIDON Orbit Errors Due to Gravitationnal and Tidal Modeling Errors Using the Global Positioning System, IUGG General Assembly, Jul 3-15, Boulder, CO
• Kaula, W. (1966): Theory of Satellite Geodesy, Blaisdell, Waltham, Mass
• Schrama, E.J.O. (1989): The Role of Orbit Errors in Processing of Satellite Altimeter Data, Netherlands Geodetic Commission, report 33
• Schrama, E.J.O. (1992): Some remarks on several definitions of geographically correlated orbit errors: consequences for satellite altimetry, Manuscripta Geodaetica, 17:282--294